Plusieurs livres pour s'initier (et beaucoup plus que s'initier) à la théorie des catégories et en particulier à la théorie des topoi sont accessibles librement sur Internet.

Toposes, triples and theories (par M Barr et C Wells) :

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html

Abstract and concrete categories (The joy of cats):

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17abs.html

Topoi, the categorial analysis of logic (par R Goldblatt) :

http://cdl.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&seq=1&frames=0&view=50

(on peut se procurer ce dernier livre, qui reste l'un des meilleurs parce qu'il dépasse souvent le niveau proprement scolaire pour aborder les problèmes philosophiques,  chez Dover à bas prix)

Le mieux est de partir de ce papier, qui a le mérite d'être très clair et de ne pas requérir de connaissances techniques préalables :

The principle of general tovariance

http://www.math.ist.utl.pt/~xvi-iwgp/talks/KLandsman.pdf

Ainsi le principe de covariance cher à la relativité devient le principe de "tovariance" de la "toposophie" !

L'extrait en page 1 de l'article du livre de Disalle "Understanding space-time" est tout à fait louable et mérite d'être souligné, en ces temps de "tout à l'économique et à la profitabilité technicienne", et d'oubli concomitant de la réflexion méditante:

"These are the times at which philosophical analysis has become an unavoidable task of physics itself"

Ces "temps" sont notre époque. Et la mention de Smolin et de son livre "Three roads to quantum gravity"  à la page suivante est  tout à fait appropriée.

Smolin, ce grand physicien, qui demande dans son article sur l'héritage d'Einstein  : "where are the Einsteinians ?":

http://www.logosjournal.com/issue_4.3/smolin.htm

 faisant ainsi allusion à l'obsession d'Einstein pour la réflexion sur les grands problèmes philosophiques, dans la lignée de Spinoza, à son refus de tout compromis intellectuel et à son honnêteté sans failles envers la vérité (il avait rejeté tout autant sa propre relativité restreeinte, très tôt, que certains aspects et interprétations philosophiques de la physique quantique ). Et aussi, voir la fin de l'article, à la difficulté qu' il y a à emprunter de nouveau le "chemin d'Einstein", dont la moindre n'est pas qu'il faille bien connaitre les théories récentes de la physique, y compris leur aspect mathématique.

Dans son livre récent "The trouble with physics" ("Rien ne va plus en physique"), Smolin fixe pour tâche aux physiciens de l'avenir de résoudre cinq grands problèmes, dont l'un porte sur les "fondements philosophiques de la physique quantique", et sa jonction avec la relativité en une théorie plus vaste.

Lire là dessus cet article du blog Philoscience:

 http://philoscience.over-blog.com/article-6995523.html

Voici aussi un commentaire mesuré du livre de Smolin:

http://www.jp-petit.org/science/smolin/SmolinLivre.pdf

l'importance cruciale du livre de Smolin tient aussi à ce qu'il livre un diagnostic sans concession sur l'impasse de la physique des cordes, qui se traduit notamment par le fait qu'on ne décèle aucune avancée théorique depuis 25 ans (depuis la dernière grande avancée, celle du modèle standard des particules).

Même appréciation (est ce une coïncidence ?) dans le livre de Peter Woit, qui se présente lui même comme un mathématicien s'occupant de physique : "Not even wrong" ("Même pas fausse") où la physique est renvoyée...dans ses cordes. Voir aussi son blog "Not even wrong" :

http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/

qui complète le livre (qui est d'ailleurs largement commenté).

Mais Smolin, dans "Trouble with physics", fait seulement de brèves allusions à la physique mathématique des catégories et topoi. Il plaide pour sa propre apporche, qui est celle de la gravité quantique à boucles ("loop quantum gravity"). Or entre les deux voies de la théorie des cordes et de la gravité quantique à boucles, il semble bien, c'est l'objet du petit article de Landsman, que la théorie des topoi représente une troisième voie... ce qui ne serait après tout pas surprenant, puisque les topoi offrent tous un cadre pour la logique intuitionniste, où le "tiers exclus" est....exclus .

Les topoi offrent à la fois une généralisation au cadre conceptuel ensembliste, puisque ce sont en gros des catégories où l'on peut faire toutes les manipulations usuelles de la catégorie Ens des ensembles (produit cartésien, exponentiation, ensemble des parties, etc...), et un cadre idoine pour penser plus profondément les bases logiques de la physique et des mathématiques (ce qui correspond au plus important des problèmes de Smolin, celui des fondements de la physique quantique...on sait que Feynman disait que "si vous comprenez quelque chose à la physique quantique, c'est que vous ne comprenez rien à la physique quantique" ...encore vaut il mieux affirmer cela que de dire comme Godard je crois : "si vous avez compris quelque chose à ce que je dis, c'est que je me suis mal exprimé").

Les topoi permettent aussi de "relativiser" voire supprimer la "tension" entre commutativité (de la physique classique) et non-commutatitivté quantique , dans un sens bien précis que l'on va expliquer ici....

à lire aussi à propos de cet article : l'excellent blog "n category cafe", avec lequel ce blog n'entend pas lutter pour ce qui est du savoir en physique et mathématique  :

http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/12/the_principle_of_general_tovar.html

A noter que le papier "Principle of general tovariance" commenté sur le blog "n category cafe" est une version légèrement différente de celle donée ici, et plus complète :

http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/tovariance.pdf

Mais continuons avec notre version !

Principe de tovariance vs principe de covariance

le papier donne les définitions principales afférentes à la théorie des topoi, et des "morphismes géométriques" entre eux. On pourra trouver des informations plus complètes, quoiqu'aisées à lire, sur ce site :

http://topos-physics.org/topos

Le principe de tovariance s'énonce alors ainsi :

"Toute structure mathématique gouvernant les lois de la physique doit pouvoir être définie dans n'importe quel topos muni d'un objet des nombres naturels et doit être préservée par les morphismes géométriques"

Il répond au principe de covariance d'Einstein, qui mathématiquement correspond au cadre de la géométrie différentielle utilisé pour la relativité générale :

"les lois de la physiques doivent être covariantes pour des changements de corrodonnées arbitraires"

Les structures préservées par les "morphismes géométriques" entre topoi sont celles qui sont définies :

- par des symboles logiques Λ en nombre fini, V en nombre arbitraire, T (true), F (false), E (quantificateur existentiel)

-par des axiomes de forme : (x) : Φ(x) → Ψ(x) (où (x) veut dire : quelque soit x)

On montre alors (Mulvey) que les C*-algèbres (et les algèbres de Von Neumann), qui constituent le cadre mathématique de la probabilité quantique ("quantum probability theory", voir notamment l'ouvrage classique de P A Meyer chez Springer lecture notes)) obéissent au principe de tovariance.

Ce qui conduit au "nouveau principe d'équivalence", qui vient remplacer celui d'Einstein et celui de Bohr :

"toute C*-algèbre d'observables est équivalente à une C*-algèbre commutative"

La construction d'une C* algèbre commutative à partir d'une algèbre quelconque par le procédé d'abelianisation est sommairement expliquée dans le papier, procédé impliqué dans la théorie générale de Mulvey étendant la théorie de Gelfand à un topos arbitraire, on en trouvera une version complète ici :

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TYB-4GHRBTK-3&_user=1947264&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000055519&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1947264&md5=e69b103d8b9d04fb472fe3ce9594604b

http://www.maths.sussex.ac.uk/Staff/CJM/research/CJMResearch.htm